Return to Probleme

Rezolvările

Nr. problemă:Denumire problemă:Enunț problemă:Rezolvare:
Nr. problemă:Denumire problemă:Enunț problemă:Rezolvare:
1.Călătorie temerarăDoi băieți se găsesc la o distanță de 10 m unul de altul, privind în sensuri opuse: unul către est, celălalt către vest. Ei se hotărăsc să facă ocolul Pământului, pornind fiecare în același timp în direcția în care sunt îndreptați. Ce distanță au de parcurs până la întâlnirea lor, admițând că tinerii se aflau pe paralela terestră 45?Cei 10 m, căci băieții erau așezați față-n față.
2.Pescuit cu ghinionUn pescar amator – isteț la matematică – se înapoia odată de la pescuit. Văzându-l cam posomorât, fetița sa, Mirela, i-a ieșit nerăbdătoare în cale și l-a întrebat: - De ce ești supărat, tată? - Cum să nu fiu, îi răspunse el, când știu câți pești am prins de astă dată: 6 fără cap, 9 fără coadă și 8 pe jumătate! Câți pești o fi prins acest șugubăț pescar?Din cele spuse de pescar reiese că n-a fost prins niciun pește, pentru că dacă la cifrele 6,9,8 se înlătură capul, coada, respectiv, una dintre jumătăți, se obține mereu 6.
3.Numărul pisicilorLa grupa mare a unei grădinițe, educatoarea a propus copiilor următoarea problemă: - Într-o cameră se aflau niște pisici; să găsiți câte pisici erau acolo dacă în fiecare din cele patru colțuri ale camerei era câte o pisică, o pisică pe fiecare coadă de pisică, câte trei pisici în fața fiecărei pisici! Copiii se antrenară la socotit făcând uz de jucăriile lor și, de îndată, unul dintre ei, încrezător în răspunsul său, a zis: - Eu am strâns laolaltă pisicuțele astfel: 4 – câte erau în fiecare colț al camerei, plus 4 – câte erau pe fiecare coadă a celor din colțuri, plus 4 – câte erau pe fiecare coadă a celor din colțuri, plus 12 – căci atâtea fac când sunt câte trei în fața fiecăreia din cele patru aflate în colțuri ieșindu-mi cu toate 20 de pisici! - Tot așa am găsit și noi, se grăbiră să anunțe și alți copii, încântați de isprava lor. - Regret, zise educatoarea. Răspunsul e altul; mai gândiți!Erau numai 4 pisici – cele situate câte una în fiecare colt al camerei – și fiecare ședea pe coada ei privind pe celelalte trei.
4.De unde prisosește leul?Doi amici trebuiau să plătească, pentru cât consumaseră la o cofetărie, câte 10 lei, însă rugând pe ospătar să li se facă o reducere, rugămintea lor a fost transmisă responsabilului care a consimțit să li se restituie 5 lei; ospătarul a reținut – cu știrea clienților – 3 lei și a înapoiat fiecăruia câte un leu. Unul dintre consumatori, dorind să facă o verificare a socotelilor, a judecat în felul următor: inițial noi trebuia să dăm 20 lei și, cum ni s-a restituit câte un leu, înseamnă că au rămas 18 lei; știm că 3 lei au fost reținuți de ospătar, deci se totalizează 21 lei. De unde a apărut, atunci, un leu?În raționamentul clientului s-a făcut o confuzie, când la suma cheltuită, 18, a adăugat pe cei 3 lei restituiți de ospătar; într-adevăr, ei au dat la început 20 lei din care li s-au restituit 2 lei, rămânând 18 lei, însă în această sumă intră cei 3 lei cedați ospătarului și plata consumului lor, redusă de responsabil la 15 lei.
5.O socoteală ciudatăSe poate arăta că: 45-45=45 (!) Considerând egalitatea echivalentă: 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45, Diferența 45-45 se scrie: 9+8+7+6+5+4+3+2+1 minus 1+2+3+4+5+6+7+8+9 rezultând: 8+6+4+1+9+7+5+3+2 adică tot 45; bineînțeles, scăderea s-a efectuat, cum scrie la carte, de la dreapta la stânga, iar când cifra scăzătorului depășește pe cea corespunzătoare de la descăzut, s-a făcut împrumut la următoarea cifră a descăzutului... Așa să fie oare?Afirmația paradoxală este cauzată de o eroare: acel împrumut de la cifra anterioară a descăzutului deoarece, așa cum sunt scrise, nu reprezintă cifre de ordin imediat superior într-un număr scris în sistemul de numerație zecimal, ci sunt doar simple unități.
6.Paguba vânzătoareiUn voiajor a cumpărat dintr-un magazin obiecte în valoare de 40 lei, pentru care a dat o bancnotă de 100 lei. Vânzătoarea, neavând în acel moment banii pentru rest, s-a dus la casa unui magazin apropiat și a schimbat bancnota. Apoi a dat clientului restul cuvenit, 60 lei. Curând după plecarea cumpărătorului a venit însă vanzătorul vecin, spunând că bancnota e falsă și a restituit-o vânzătoarei, aceasta trebuind să-i dea altă bancnotă de 100 lei. Cât e paguba vânzătoarei: 200 lei, 160 lei, 140 lei sau 100 lei?Paguba e de 100 lei, deoarece au fost înstrăinați 200 lei (100 lei, bancnota bună dată casierului, 60 lei dați rest și 40 lei contravaloarea mărfii vândute), dar s-au primit 100 lei mărunțiș la schimbarea bancnotei false.
7.Suma ghicităDiana făcu prietenei sale, Cristina, promisiunea că îi poate ghici ce sumă posedă după unele modificări ale acesteia, cu toate că nu-i cunoaște valoarea inițială. Curioasă, Cristina își verifică avuția numărând în taină banii, apoi zise: - Putem începe! - Socotește câți lei vei avea dacă mama îți dă încă atâția, plus 10 pe care ți-i ofer eu, dacă cheltuiești jumătate din totalul rezultat, iar mama îți retrage suma dată! – și, fără să aștepte răspunsul, Diana continuă: - Trebuie să-ți fi rămas 5 lei! Recunoscând Cristina se întreabă: cum se poate ghici atât de exact?e jumătatea numărului dictat de Diana, deoarece dacă x e numărul initial folosit de Cristina și n cel spus de Diana, calculele menționate dau: x + x + n – (x + x + n)/2 – x = n/2
8.PerformanțăCostin a devenit adoratul colegilor, dovedind că poate aduna rapid și corect – și încă în gând – niște numere (culmea! unele chiar necunoscute lui). Astfel, în prezența lor – erau 37 cu toții - , a cerut unuia să scrie, în secret, anul de naștere, la care să adune anul unui eveniment din viață și, în continuare, să adune: numărul persoanelor prezente, vârsta în ani întregi pe care cel ce socotește o va avea la sfârșitul anului curent – atunci 1978 – precum și numărul anilor care au trecut de la evenimentul considerat. Înainte de a termina colegul calculele, Costin a și dat răspunsul cuvenit: 3993. Pe baza cărui raționament a ajuns la această performanță?Numărul spus de Costin e suma dintre numărul persoanelor de față și dublul anului curent. Într-adevăr, dacă x și y sunt respectiv anul nașterii și al evenimentului, iar n – numărul persoanelor, v și e – vârsta și numărul de ani care au trecut de la evenimentul considerat, sumele calculate sunt: x + y + n + v + e = (x + v) + (y + e) + n = 2a + n, în care: a = x + v = y + e reprezintă anul curent.
9.Cu soț or făr-de soțDe veți conveni cu cineva din grupul din care faceți parte să ia într-o mână un număr cu soț de boabe (nu interesează natura lor!), iar în cealaltă un număr fără soț – veți putea ghici în care mână va avea numărul cu soț. Pentru aceasta solicitați partenerului să înmulțească numărul boabelor din mâna dreaptă cu un număr par, iar numărul celor din stânga cu un număr impar și adunând rezultatele să vă spună numărul obținut. Dacă numărul anunțat este par, puteți afirma cu încredere că numărul cu soț de boabe este în mâna stângă, iar dacă acel număr final spus de partener este fără soț, atunci cu siguranță că boabele în perechi sunt în mâna dreaptă. Reflectați apoi asupra explicației acestui adevăr...În documentația posibilității de a se răspunde corect se folosesc afirmațiile: produsul a două numere pare este un număr par și, la fel, produsul dintre un număr par și altul impar este tot par; când ambii factori sunt impari, și produsul lor e impar; precum și: suma a două numere cu parități diferite este un număr fără soț – caz care apare când numărul boabelor din mâna dreaptă sunt în număr cu soț, iar cazul invers conduce la adunarea a două numere cu soț, provenite din produsul a câte doua numere cu parități diferite, a cărui sumă este evident un număr cu soț. Exemplu: dacă în mâna dreaptă se ia un număr fără soț de boabe (bunăoară 3) și în mâna stângă un număr cu soț (fie 2), înmulțind numărul boabelor din mâna dreaptă cu un număr par (14, de pildă), iar pe cel din stânga cu un număr impar (5) și adunând aceste produse (3 X 14 + 2 X 5 = 52), numărul cu soț rezultat dă indicația că boabele în număr cu soț sunt în stânga; cazul contrar conduce la un număr fără soț (2 X 14 + 3 X 5 = 43), temei de a răspunde că în dreapta sunt bobele al căror număr este cu soț.
10.Magie cu numereUn profesor, făcând o digresiune de la lecție, a anunțat pe elevi că îi va învăța să ghicească mai multe numere naturale deodată. - Pentru un început, am să dovedesc eu acest lucru! zise profesorul. - Cum, dacă fiecare dintre noi își va alege câte un număr, dumneavoastră veți ghici fiecăruia numărul ales? Întrebă mirat unul dintre elevi. - Desigur, însă cu o singură condiție: dacă primul număr poate avea oricâte cifre, celelalte să fie numai dintr-o singură cifră. Procedeul este următorul: cine și-a ales primul număr, să-l dubleze, apoi să adauge pe 1 și numărul obținut să-l înmulțească cu 5; următorul preia rezultatul anterior la care adună – pe ascuns, firește – numărul ales de el și apoi procedează la fel: dublează, adaugă pe 1 și numărul obținut îl înmulțește cu 5 și așa mai departe până la ultimul care, la rezultatul ce i s-a transmis discret, adună numărul pe care s-a gândit și îmi comunică suma calculată de el. Atunci eu voi spune numerele alese. - Să probăm deocamdată cu patru elevi, hotărâ profesorul. Fără nicio zăbavă, rând pe rând, elevii Andre, Ionel, Simona și Damian s-au avântat în calculele menționate cu numerele lor preferate. - 36249 este ultima noastră sumă, preciză Damian. - Iată răspunsul: numerele alese sunt: 35,6,9 și 4! spuse profesorul. - Exact! Confirmară cu uimire elevii. - Acum, continuă profesorul, vă propun să justificați faptul că, dacă din rezultatul anunțat (36249) se scade 555, diferența obținută (35694) redă prin cifra unităților, a zecilor și sutelor ultimele trei numere alese (de Damian, Simona și Ionel), iar prin restul cifrelor – primul număr care trebuie ghicit (numărul lui Andrei).Dacă se notează acele numere naturale, în ordinea folosirii lor în calculi, cu a,b,c,d operațiile indicate dau: 5{2{5[2[5(2a+1)+b]+1]+c}+1}+d-555=1000a+100b+10c+d Notă: Trebuie observat că dacă se aleg două numere, din rezultatul final se scade 5; dacă se aleg trei numere, se va scade 55; dacă se aleg n numere, din acel rezultat final se scade numărul format cu cifra 5 repetată de (n-1) ori; în aceste cazuri, ultimele (n-1) cifre ale diferenței redau în ordinea citirii lor numerele alese începând cu al doilea până la ultimul, iar grupul cifrelor din față reprezintă primul număr cu care s-au început calculele.
11.Cele cinci fesuri"Un sultan dintre aceia ce domnesc peste vreo limbă..." condamnă la moarte 3 ostaşi, pe care, pentru uşurinţa exprimării, vom conveni să-i numim prescurtat O1, O2, O3. Înainte de execuţie, sultanul - mare "amator" de probleme de logică - le acordă unica şansă, pentru a se salva, supunându-i la o probă. Mai întâi le arata trei fesuri roşii şi două negre; apoi îi aşează în şir "indian", deşi erau turci, şi-i leagă la ochi. Le pune la întâmplare câte un fes pe cap, dintre cele cinci şi îi dezleagă la ochi, dar nu le dă voie să privească decât înainte, astfel încât cel din spate (O1) vede fesurile lui O2 şi O3, iar O2 vede fesul lui O3. Deci O3 nu vede niciun fes. Apoi, pe rând, începând cu O1, fiecare trebuie - pe bază de raţionamente perfecte - să ghicească culoarea culoarea fesului pe care îl are pe cap. Sultanul le mai promite că dacă unul singur va răspunde corect, îi va ierta pe toţi. Totodată, sultanul, grijuliu, îi asigură că există o cale logică de rezolvare şi îi sfătuieşte să nu dea răspunsuri întâmplătoare. Zis şi făcut! O1 priveşte fesurile din faţa sa, judecă corect şi, spre dezamăgirea lui şi a celorlalţi, răspunde : "Nu pot spune culoarea fesului meu". O2 vede culoarea fesului lui O3, aude răspunsul lui O1 şi continuă seria dezamăgirilor, răspunzând: "Nu pot spune culoarea...". O3 aude cele două răspunsuri şi, deşi nu vede nici un fes, reface raţionamentele care au stat la baza răspunsurilor lui O1 şi O2 şi dă răspunsul corect. Imaginaţi-vă că sunteţi în situaţia destul de neplăcută la lui O3 şi, folosindu-vă de răspunsurile lui O1 şi O2, încercaţi să vă "salvaţi" viaţa dumneavoastră şi a celorlalţi doi, dând răspunsul corect pe baza raţionamentelor perfecte ale fiecărui condamnat.O3 avea fes roșu. Deducțiile ar fi urmatoarele: O1 ar fi putut sa răspundă corect doar într-un singur caz, și anume dacă O2 si O3 ar fi avut ambii fesuri negre, ceea ce ar fi însemnat că el, O1, are sigur un fes roșu. În concluzie combinația O1=negru, O2=negru e imposibilă. O2, bazându-se pe lipsa de răspuns a lui O1, știe deja ca respectiva combinație e imposibilă. În noile condiții, el ar putea răspunde corect la întrebare doar dacă pe capul lui O3 ar fi un fes negru, ceea ce ar însemna că el, O2, are un fes roșu. Deoarece O2 a zis ca nu poate răspunde, O3 a tras concluzia ca O2 n-a văzut în fața lui un fes negru. În concluzie, fesul lui O3 este roșu.
12.Doar 15 km pe glob.Din care punct de pe suprafaţa pământului poate un om să meargă 15 km spre sud, apoi 15 km spre est, apoi 15 km spre nord şi să ajungă înapoi în punctul de la care a plecat?Teoretic, ecuatorul este cercul care inconjoară pământul la mijlocul lui. Mergând spre nord sau spre sud de la ecuator, în mod progresiv cercuri de latitudine mai mici vor înconjura pământul până ce vor atinge punctele polilor Nord sau Sud. Undeva în apropiere de Polul Sud, trebuie să fie un cerc de latitudine a cărui circumferință este exact 15 km. Și trebuie să fie un al doilea cerc de latitudine exact 15 km nord de primul cerc. Să presupunem că un om își începe călătoria de la un punct oarecare de pe al doilea cerc. El merge 15 km spre sud și ajunge pe primul cerc a cărui circumferință este 15 km. El merge 15 km spre est. Asta înseamnă ca el parcurge întregul cerc de 15 km. Apoi el merge 15 km spre nord, ajungând la punctul lui de plecare.
13.Pe izlazPe întinderea unui izlaz, iarba creștea la fel de repede și cu aceeași densitate. Dacă cu iarba acestui izlaz s-ar hrăni 70 de vaci în 24 de zile, sau 30 de vaci în 60 de zile, câte vaci ar fi hrănite în 96 de zile? Notă: Această problemă a fost scrisă de I.Newton în tratatul Arithmetica universalis (1707), pentru a concretiza, cum îi era obiceiul, unele considerații teoretice.În rezolvarea corectă a problemei trebuie avut în vedere că iarba crește continuu. Adoptând notațiile: a – cantitatea de iarbă ce se găsea pe izlaz când s-a început păscutul ei, b - cantitatea de iarbă care crește într-o zi pe întreg izlazul, x – numărul de vaci ce se cere aflat, Și exprimând cantitatea constantă de iarbă care se mănâncă pe zi de o vacă, se obține: [(a+24b)/24*70]=[(a+60b)60*30]=[(a+96b)/96*x] Din egalitatea primelor două rapoarte rezultă: a=480b, iar din proporția formată cu unul dintre primele două rapoarte și cu ultimul, se găsește x=20
14.Kant și ora exactăImmanuel Kant făgăduise unui prieten că îi va face o vizită la locuința sa unde se mutase de curând. În ziua fixată, când bănui că e timpul de plecare, vrând să cunoască precis ora, avu neplăcuta surpriză să constate că ceasornicul era oprit (servitorul uitase să-l întoarcă). Cum și ceasul său de buzunar era dat la reparat, se văzu în imposibilitatea de a potrivi limbile ceasornicului la ora corespunzătoare și, cu riscul că s-ar putea nărui punctualitatea ce-l caracteriza, a plecat. Ajuns la prieten, de îndată își aruncă o privire spre pendula din antreul casei. După câteva ore de ședere, filozoful își luă rămas bun și o porni acasă pe același drum pe care venise. Ca întotdeauna, el a mers cu un pas încet și constant ce nu și-l schimbase în 20 de ani. Nu avea nicio idee despre cât durează acest drum; cu toate acestea, imediat ce a intrat în casă a fixat fără greș limbile ceasornicului la ora cuvenită. Cum a putut ști Kant care este ora exactă?Kant a determinat exact momentul în care s-a înapoiat acasă în felul următor: înainte de a pleca, el a întors ceasornicul, astfel că privindu-l la plecare și la venire, a aflat cât timp a lipsit de acasă. Din acesta a scăzut timpul petrecut la prieten (evaluat după ceasornicul acestuia) și a obținut timpul cât a durat plimbarea. Deoarece s-a înapoiat pe același drum și cu aceeași viteză, a înjumătățit durata totală a plimbării și acest timp l-a adăugat la ora plecării de la prieten, aflând așadar ora sosirii acasă.
15.Excursia în NepalUn român pleacă în excursie în Nepal. Fiind o țară ciudată, el este condamnat la moarte. Pe o masă erau două bilete diferite : pe unul scria viață, iar pe altul moarte. Regele îi spune că poate scăpa doar dacă trage biletul pe care scria viață. Un răufăcător care îi dorea moartea schimbă repede biletul pe care scria viață cu unul pe care scria moarte. Acum erau doua bilete care erau cu moarte, dar nimeni în afară de răufăcător nu știa asta. În final scapă, dar cum ?Răufăcătorul l-a ajutat să se salveze, de fapt... Atâta timp cât pe cele două bilete scria moarte, el trage un bilet, se uită la el (scria moarte ...) apoi îl înghite. Regele se uită pe celălalt bilet și scria tot moarte, așadar el trăsese biletul pe care scria viață (așa credea regele ...) și scapă de la pedeapsa cu moartea.
16,Există și dublul lui 0?Astăzi afară temperatura este de 0 grade Celsius. Mâine va fi de 2 ori mai cald. Ce temperatură va fi mâine?Se va măsura temperatura în Fahrenheit 0 grade celsius = 32 grade Fahrenheit, de două ori mai cald va fi 64 Fahrenheit, deci 17.78 grade Celsius.
19.Sofismul lui BernoulliJean Bernoulli a lăsat și o ,,demonstrație” a egalității sofistice =1=1 (!). Iată ,,demonstrația”: Evident: (-1)2=1; prin logaritmare, se obține: 2log(-1)=log(1)=0, sau: log(-1)=0, deci -1=100=1Aici se încalcă definiția logaritmului, operându-se cu logaritmul unui număr negativ.
20.Curierii lui Caroll LewisAutorul uneia dintre cele mai populare cărți pentru copii Alice in Wonderland (1866), Lewis Caroll, a fost matematicianul Charles Lutwidge Dodgson, care a scris și câteva cărți cu probleme și enigme originale. Iată una: ,,Doi curieri pleacă din A și din B, unul în întâmpinarea celuilalt, cu viteze constante dar diferite între ele. După întâlnire, pentru a ajunge la punctul terminus, unuia i-au mai trebuit 16 ore, celuilalt 9 ore. Cât timp a trebuit fiecăruia până la întâlnirea lor?”.Se înțelege că necunoscutele problemei sunt t, timpul scurs de la începutul mișcării până la întâlnirea curierilor, și v1 și v2, vitezele lor. Evident, primul curier străbate întreaga distanță în (t+16) ore, celălalt în (t+9) ore. Această distanță între A și B se poate exprima în trei moduri: AB= (t+16)v1=(t+9)v2=t(v1+v2). Deci: (t+16)v1= t(v1+v2), de unde: t=16 v1/ v2 și (t+9)v2=t(v1+v2), de uned: t=9v2/v1; se obține: v1/v2=3/4 și, în fine, t=12 ore.
21.Epitaful unui anticLa moartea unui celebru matematician al antichitătii a lăsat un epitaf care în decursul istoriei a servit de multe ori drept model pentru alcătuirea unor ecuatii algebrice. Iată un alt asemenea epitaf: Călătorule! Aici odihnesc osemintele Unui om bun, care a trăit O viată lungă si plină de virtuti. Copilăria sa a tinut o sesime din viată, Apoi a mai trăit o doisprezecime Până s-a însurat cu o femeie, Care nu i-a dăruit copii decât După ce a mai trecut a saptea parte din viată, Plus încă cinci ani. Iar fiului său soarta i-a hărăzit Să trăiască doar jumătate din viata părintelui. În mâhnire adâncă a murit bătrânul, Supravietuind cu patru ani fiului său. .......................................... Călătorule! Stii câti ani am eu, În această zi când îmi sfârsesc viata?Fie x-vârsta matematicianului și y-vârsta fiului său. x/6+x/12+x/7+5+y+4=x; y=x/2 =>x/6+x/12+9+x/2+x/7=x; și după aducerea la numitor comun: 14x+7x+42x+12x=84x-756; 9x=756; x=84; y=42 Când a murit, bătrânul avea 84 de ani iar fiul său a decedat la doar 42 de ani.
22.Ce urmează?Se dau primii termeni ai unui şir generat după o anumită regulă: 2, 6, 12, 20, 30, ... Care este următorul termen? Care este termenul general al șirului?Primii cinci termeni se obţin după cum urmează 1) 2=1X2; 2) 6=2X3; 3) 12=3X4; 4) 20=4X5; 5) 30=5X6; și următorul termen va fi: 6) 42=6X7. În concluzie termenul general al sirului este: tn=n*(n+1)
23.Cum au ajuns cartofii în Europa?La întoarcerea în Spania, unul dintre conchistadorii lui Francisco Pizarro în Peru, a luat cu sine trei specii de tuberculi, cu gândul de a încerca să-i aclimatizeze în patrie. A ales exemplarele cele mai frumoase, le-a sortat în trei saci, a legat sacii la gură şi a însemnat pe ei ce conţineau: oca, luki şi ulluco. Dar grăbindu-se să nu piardă corabia, spaniolul s-a încurcat şi a etichetat greşit toţi sacii, astfel încât nici unul nu avea înscris pe el conţinutul corect. Pe corabie, spaniolul şi-a dat seama de greşeală şi a remediat-o, desfăcând un singur sac şi etichetând apoi corect toţi sacii. Cum a procedat el?Spaniolul a desfăcut un sac, a văzut ce conţine şi l-a etichetat corect. A ales apoi dintre ceilalţi doi saci pe acela pe care nu era înscrisă specia pe care tocmai o găsise în primul sac. Evident, al doilea sac nu conţinea nici specia din primul sac şi nici specia înscrisă pe el. Prin urmare, al doilea sac trebuia etichetat cu a treia specie rămasă. Având acum doi saci etichetaţi corect, al treilea se identifică prin eliminare. Spre exemplu, dacă spaniolul a desfăcut sacul etichetat ”oca” şi a găsit înăuntru luki, îl va eticheta corect şi apoi va lua sacul pe care scrie ”ulluco”. Acesta va conţine evident oca, iar al treilea va conţine bineînţeles ulluco.
24.Legenda lui SessaO istorioară menită să arate şi ea cât de rapid creşte funcţia exponenţială este următoarea: Demult, în Persia, trăia un şah foarte bogat. Însă toate bogăţiile lui nu reuşeau să-I alunge plictiseala. Într-o zi, un brahman pe nume Sessa a adus la palat un joc cu piese de lemn. Şahul nu se mai dezlipea de el. De aceea, I s-a spus jocul de şah. — Spune-mi ce bogăţii voieşti pentru acest dar minunat? L-a întrebat şahul pe Sessa, dorind să-l răsplătească. — Nu-ţi cer decât atât: pentru primul pătrat al tablei de şah – două boabe de grâu, pentru al doilea – 4 boabe, pentru al treilea – 8 boabe şi aşa mai departe, pentru fiecare pătrat – dublul numărului de boabe corespunzător pătratului anterior, a răspuns brahmanul. Mare a fost mirarea şahului când, încercând să-I satisfacă dorinţa, a constatat că toate bogăţiile sale nu erau de ajuns ca să cumpere grâul cerut. Ce noțiune matematică mai poate descrie, de asemenea, cerința brahmanului? Câte boabe ar trebui puse pe ultima căsuță (doar în situația pur virtuală în care ar fi posibil acest lucru)?Progresia geometrică; 2 la puterea 64 având în vedere că sunt 64 de căsuțe pe o tablă de șah.
25.Nastratin Hogea, bun matematicianOdată, tot umblând prin bazarul din Buhara, Nastratin Hogea fu oprit de un negustor bogat. — Nu eşti tu Hogea cel vestit? — Eu sunt. — Ai picat cum nu se poate mai bine. — N-am picat, am venit pe picioarele mele. — Să lăsăm gluma. Iată care-i treaba: mâine îmi soseşte o caravană cu mărfuri scumpe, numai covoare persane şi mătăsuri grele. — Doar nu vrei să mă iei părtaş la marfă! — Asta-i bună! Am altă treabă cu tine. Marfa asta o să stea la mine câteva zile, până vin s-o ia negustorii care au tocmit-o. — Şi? — Şi mă tem de hoţi! — Paza bună trece primejdia rea. — Aşa zic şi eu. De aceea, că te ştiu ager şi cinstit, vreau să mă înţeleg cu tine să o păzeşti. Tu o să tocmeşti nişte oameni... Primeşti pentru asta 50 de galbeni. — S-a făcut! Am câţiva oameni de încredere. — Bate palma! După ce luă o arvună, Nastratin dădu să plece să-şi caute prietenii, când negustorul îl chemă înapoi: — Hei, Hogea! Nu am stabilit cum să fie paza. Bagă de seamă: casa în care ţin mărfurile are forma unui triunghi. Vreau ca fiecare din cei doi pereţi mai lungi să fie păzit de 8 oameni, iar celălalt perete – de 5. — Păi, cum, bre, omule?! se miră Nastratin. 8 şi cu 8 şi cu 5 fac 21. Cu ce-i plătesc pe toţi? Cu 50 de galbeni?! Şi apoi, ţi-am spus că am nişte oameni de încredere. Sunt 12 prieteni, cu mine am fi 13... De unde să-i iau pe ceilalţi? — Treaba ta. Tocmeala e făcută. Dacă n-o respecţi, te duc în faţa judecătorului. Nastratin s-a gândit puţin, apoi şi-a chemat cei 12 prieteni şi cu toţii au păzit casa, respectând întocmai şi dorinţa negustorului. Ştiţi cum?Clădirea fiind triunghiulară, Nastratin Hogea a plasat 8 oameni în dreptul unghiului unde se întâlneau cei doi pereţi lungi. De acolo supravegheau ambele ziduri. Ceilalţi 5 păzeau al treilea perete.
26.Elevii lui PitagoraDupă o legendă, se spune că Pitagora, fiind întrebat de către Policrate – tiranul Siracuzei – câți elevi are, a răspuns astfel: ,,Jumătate din elevi studiază matematica, un sfert muzica, a șaptea parte asistă în tăcere și, în plus, mai sunt încă trei femei”. Câți elevi erau în total?Rezolvare aritmetică Numărul celor care studiază matematica, muzica sau doar asistă, reprezintă, din totalul elevilor fracția: 1/2+1/4+1/7=25/28; numărul femeilor este restul fracționar: 28/28-25/28=3/28 deci totalul elevilor era: 3/3/28=28 Rezolvare algebrică Dacă x este numărul tuturor elevilor, se formează ecuația: x=x/2+x/4+x/7+3, la care se obține soluția: x=28
27.O problemă a lui FibonacciCineva a cumpărat 30 de păsări cu 30 de monede; pentru o potârniche a plătit 3 monede, pentru un porumbel 2 monede, iar pentru o pereche de vrăbii câte o monedă. Câte păsări de fiecare fel au fost cumpărate? Notă. Leonardo Pisano (Fibonacci), în lucrarea Liber abaci (1202,1228), a redat numeroase probleme, unele recreative, între care această problemă (ca și faimoasa problemă a iepurilor de casă, care a antrenat o serie de studii ulterioare).Notând cu x numărul potârnichilor, cu y – al porumbeilor și cu z – al vrăbiilor, se formează sistemul: x + y + z = 30 3x + 2y + 1/2*z = 30 Eliminând pe z, se găsește: y = 10 - 5/3*x; întrucât x, y, z sunt numere întregi și pozitive, trebuie ca x să fie multiplu de 3 (pentru a asigura valoarea întreagă a lui y), dar mai mic decât 6 (pentru ca y să fie strict pozitiv) – deci: x=3 de unde rezultă: y=5 și z=22.
28.Calul lui RieseÎn schița Die Coss (1524), Adam Riese a formulat următoarea problemă: Trei oameni voiau să cumpere un cal cu 12 florini, dar nimeni dintre ei nu avea o asemenea sumă. Atunci primul a spus celorlalți: ,,Dați-mi fiecare câte o jumătate din suma ce o aveți și voi cumpăra eu calul”; cel de-al doilea a zis: ,,Dați-mi câte o treime din cât aveți și calul îl voi cumpăra eu”; al treilea le-a răspuns astfel: ,,Dați-mi câte un sfert din suma voastră și calul va fi al meu”. Câți florini a avut fiecare?Fie x, y, z sumele avute de fiecare cumpărător. Doleanțele lor se redau, respectiv, în cele trei ecuații liniare ale sistemului: x + 1/2(y+z) = 12; y + 1/3(z+x) = 12; z + 1/4(x+y) = 12; Prin rezolvare se obține soluția: x =3 9/17; y = 7 13/17; z = 9 3/17.
29.Logica și viațaZice-se că în vremurile de demult trăia un împărat înfumurat nevoie-mare. Se credea cel mai puternic şi mai deştept om de pe pământ şi se mânia nespus numai la gândul că ar putea exista cineva mai grozav decât el. Şi iată că, din gură în gură, ajunse zvon la urechile lui că în împărăţia lui vieţuia un înţelept foarte ager la minte. Împăratul vrând să se descotorosească de el, porunci ca înţeleptul să fie grabnic întemniţat şi judecat pentru o pricină scornită. Fără să zăbovească prea mult judecătorii l-au condamnat pe înţelept la moarte. Adus în faţa tronului, împăratul i-a spus trufaş: - Alege-ţi singur moartea. Vrei să fii spânzurat, ori doreşti să ţi se taie capul? - Nu doresc nici una, nici alta - zise înţeleptul - dar n-am încotro. Totuşi, mărite împărat - continuă el - aş vrea să-mi împlineşti, aşa se obişnuieşte, o ultimă dorinţă: să-mi aleg singur moartea. Voi rosti câteva cuvinte. Dacă le vei considera drept un adevăr, atunci să mi se taie capul; dacă, dimpotrivă, vei găsi că spusele mele exprimă un neadevăr, atunci să porunceşti moartea prin ştreang. - Mă învoiesc! zise îndată împăratul, vrând să arate celor din jur că ştie să respecte ultima dorinţă a condamnaţilor. Iar condamnatul a rostit nu mai mult decât trei cuvinte şi... a scăpat cu viaţă! Care au fost cuvintele salvatoare?Cuvintele salvatoare au fost: ”Voi muri spânzurat”. Această propoziţie conduce la un paradox, paradox care constă în imposibilitatea de a stabili valoarea ei de adevăr. Într-adevăr, dacă afirmaţia “Voi fi spânzurat” ar fi adevărată, ar însemna că înţeleptul spune un adevăr şi, prin urmare, conform înţelegerii ar urma să fie decapitat. Dar atunci el va fi decapitat şi nu spânzurat. Aşadar, propoziţia “Voi fi spânzurat” este falsă. Contradicţie! Acelaşi rezultat se obţine în cazul în care presupunem că afirmaţia “Voi fi spânzurat” ar fi falsă. Într-adevăr, în acest caz, înţeleptul ar spune un neadevăr şi deci, conform înţelegerii ar urma să fie spânzurat. Dar atunci afirmaţia “Voi fi spânzurat” este adevărată. Contradicţie! Astfel, în urma înţelegerii făcute, împăratul a fost pus în imposibilitate de a-l ucide pe înţelept.
30.Problema lui BrahmaguptaSă se arate că produsul a două laturi ale unui triunghi este egal cu produsul dintre înălțimea triunghiului dusă pe latura a treia și diametrul cercului circumscris triunghiului.Din asemănarea triunghiurilor dreptunghice ABD și AHC rezultă: AB/AH=AD/AC, deci: AB*AC=AH*AD.
31.MoștenireaUn arab, murind, lăsă moștenire 17 cămile, care sa fie împărțite precum urmează: primul fiu primește 1/2 din numărul de cămile, al doilea 1/3 și ultimul 1/9. Cum să-i îndeplinească testamentul, fără a sacrifica din cămile? Cum a făcut dreptate, cadiul?Feciorii s-au adresat cadiului. Acesta a venit călare pe cămila sa. A adăugat cămila sa la celelalte 17, făcând astfel o turmă de 18 cămile. Apoi a dat 1/2 din 18, adică 9 cămile, primului fiu; 1/3 din 18, adică 2 cămile, celui de-al doilea; în sfârșit 1/9 din 18, adică 2 cămile, celui de-al treilea. Rezultatul: 9+6+2=17. Cadiul a încălecat apoi pe cămila sa și a plecat.
32.Pedepsirea înțelepțilorUn rege nebun și sângeros de-a dreptul, gelos pe marea influență pe care o exercitau înțelepții asupra supușilor săi, le spune celor 100 de înţelepţi din regat că îi va alinia pe toţi şi le va pune pe cap câte o pălărie roşie sau albastră. Odată aliniaţi, ei nu vor avea voie să comunice unii cu alţii, nici nu vor putea încerca să se uite la cei din spatele lor ori să îşi scoată din cap propria pălărie. Regele le spune înţelepţilor că vor putea să vadă toate pălăriile din faţa lor. Nu vor putea vedea ce culoare are pălăria proprie sau ce culoare au cele din spatele lor, însă vor putea auzi răspunsurile tuturor celor aflaţi în spate. Regele va începe apoi cu înţeleptul din coada şirului şi îl va întreba: — Ce culoare are pălăria ta? Înţeleptul va putea să răspundă doar ,,roşu” sau ,,albastru”, nimic mai mult. Dacă răspunsul este greşit, înţeleptul va fi omorât în tăcere. Dacă răspunsul este corect, atunci înţeleptului i se va cruţa viaţa, dar el va trebui să rămână într-o tăcere deplină. Regele va trece apoi la următorul înţelept şi va repeta întrebarea. Regele le spune că dacă cineva va încălca regulile, atunci vor muri cu toţii, apoi el le permite învăţaţilor să se consulte o ultimă dată înainte de a-i alinia. Regele ascultă discuțiile dintre ei pentru a fi sigur că înţelepţii nu fac un ultim plan pentru a-l înşela și a-și salva viețile. A încerca să comunice altceva decât ”roşu” sau ”albastru” prin tuse sau târşâit de picioare ar însemna să încalce regulile și le-ar aduce pieirea. Care este numărul maxim de înţelepţi a căror salvare poate fi garantată de alegerea celei mai bune strategii? http://www.folj.com/puzzles/Numărul maxim de înţelepţi care pot fi salvaţi prin alegerea celei mai bune strategii este 99 din 100. Iată în ce constă această strategie. Înţelepţii se vor înţelege ca acela care este ultimul din şir şi are înaintea lui alte 99 de persoane să comunice celorlalţi care tip de pălării din faţa lui sunt în număr par/impar, anunţând acest lucru prin chiar răspunsul lui la întrebarea referitoare la culoarea pălăriei de pe capul său. Alegerea tipului de paritate nu are importanţă decât pentru convenţia stabilită în prealabil între înţelepţi, pentru ca aceştia să ştie ce semnificaţie să atribuie răspunsului dat de înţeleptul din coada şirului. Pentru exemplificare şi pentru fixarea ideilor, să presupunem că înţelepţii au stabilit prin convenţie ca învăţatul din coada şirului să le comunice care tip de pălării din faţa lui sunt în număr impar. În acest caz, şansele de a supravieţui ale înţeleptului din coadă vor fi tot de 50%, atâtea câte ar fi avut în mod obişnuit răspunzând aleator la întrebarea pusă dacă nu s-ar fi adoptat nici un fel de strategie şi poate că el va fi acela care se va sacrifica pentru ceilalţi. În schimb, toţi ceilalţi 99 vor şti în fiecare moment ce pălărie poartă, ascultând atent răspunsurile celor din spate, numărând pălăriile din faţă de aceeaşi culoare cu cea comunicată de ultimul învăţat din şir şi schimbând paritatea ori de câte ori aud în spate un răspuns identic cu al învăţatului din coadă. E doar o problemă să memorezi paritatea pentru două tipuri de obiecte (pălăriile roșii și albastre). Spre exemplu, dacă înţeleptul din coadă răspunde ,,roşie” la întrebarea regelui, toţi ceilalţi 99 din faţă vor şti că numărul pălăriilor roşii pe care le poartă este impar. Al doilea înţelept va şti ce pălărie poartă numărându-le pe cele roşii din faţa lui şi urmărind dacă paritatea lor s-a schimbat. Dacă numărul pălăriilor roşii este tot impar, el va şti că poartă pălărie albastră, dacă este par, el va şti că are pălărie roşie. Întru cât numărul 99 (totalul pălăriilor rămase), e un număr impar nu poate fi decât suma dintre un număr par și unul impar. Dacă al doilea învăţat spune ,,roşie”, al treilea va şti că numărul pălăriilor roşii din faţa lui împreună cu a sa a devenit par şi procedând la fel ca al doilea înţelept va putea răspunde corect la întrebarea regelui. Dacă al doilea învăţat spune ,,albastră”, al treilea va şti că numărul pălăriilor roşii pe care le poartă el şi cei din faţa lui a rămas impar şi procedând la fel ca al doilea înţelept va putea răspunde corect la întrebarea regelui. Şi aşa mai departe...
33.Țărăncile târgovețeÎn lucrarea Vollslandige Auleitung sur Algebra (1770), L. Euler a formulat și următoarea problemă: Două țărănci s-au dus la târg să vândă cele 100 de ouă pe care le aveau împreună și au încasat sume egale, deși n-au avut același număr de ouă. La înapoierea spre casă, una a spus celeilalte: ,,Dacă aș fi avut ouăle tale, aș fi încasat 15 creițari”, iar însoțitoarea i-a răspuns: ,,Eu dacă aș fi avut ouăle pe care le-ai vândut, aș fi încasat pe ele 6 2/3 creițari”. Câte ouă a avut fiecare țărancă? Notă: De această problemeă a lui Leonhard Euler a luat cunoștință și Stendhal, căreia i-a atribuit o semnificație aparte, după cum se vede din relatarea făcută în autobiografia sa, La vie de Henry Brulard (1836): ,,Pentru mine aceasta a fost o descoperire: am înțeles ce înseamnă să te poți folosi de instrumentul numit algebră”.Rezolvare aritmetică: Presupunând că o țărancă – prima care a deschis discuția – a avut de k ori mai puține ouă decât tovarășa ei, cum au încasat sume egale, înseamnă că ea le-a vândut de k ori mai scump. Potrivit dialogului lor, dacă ar fi schimbat între ele ouăle, prima țărancă ar fi vândut de k ori mai multe ouă decât cealaltă și de k ori mai scump, deci ar fi încasat de k2 ori mai mult decât a doua țărancă, ceea ce conduce la egalitatea: k2=15/(6 2/3)=9/4, de unde k=3/2, Știind numărul total al ouălor, 100 și raportul, 3/2, și cele două părți, problema revine la împărțirea sutei în două părți proporționale cu 2 și 3: a/2=b/3=100/5, deci: a=40, b=60 (a și b desemnând numărul ouălor fiecărei țărănci). Rezolvare algebrică: Dacă o țărancă a avut x ouă, numărul ouălor celeilalte este:100-x. După conversația lor, schimbând ipotetic ouăle între ele, se deduce că prima ar fi vândut oul cu prețul de: 15/(100-x)=(100-x)*(6 2/3)/x, Soluția acceptabilă a ecuației de gradul doi la care se ajunge este: x=40; deci cealaltă țărancă a avut 60 de ouă.
34.Bogăţiile regelui XerxesSe povesteşte că, printre bogăţiile regelui Xerxes, cea mai mare era o uluitoare cantitate de lingouri de aur. Regele ţinea lingourile în visterie, în nişte saci de mătase, încuiaţi în lăzi făcute din lemn de cedru. Într-o zi, după ce i-a dat unui arhitect un sac de lingouri pentru a începe construcţia unui nou palat şi a primit alţi doi de la minele de aur, regele a poruncit vistiernicului să numere lingourile. Acesta ştia că în fiecare sac se află acelaşi număr de lingouri şi în fiecare ladă acelaşi număr de saci, egal cu numărul de lingouri dintr-un sac. Totodată, acesta mai ştia că erau tot atâtea lăzi în visterie, câte lingouri în fiecare sac şi a făcut repede calculul, trecându-l pe un papirus, alături de alte calcule. Dar, punându-l în buzunar, acesta s-a rupt. Se mai ştie doar că numărul total de saci este format din şase cifre şi că poate fi obţinut prin alăturarea convenabilă a două dintre numerele următoare: 102, 136, 185, 223, 268, 283, 327, 399. Câte lingouri de aur a costat începerea lucrărilor de construcţie a palatului?Notăm cu x numărul de lingouri dintr-un sac = numărul de saci dintr-o ladă = numărul de lăzi din visterie. Atunci, numărul total de saci va fi: N = x^2 - 1 + 2. Adică: x^2 = N - 1 (1). Se ştie că N este un număr natural. Atunci, căutăm combinaţia pentru care avem o soluţie naturală pentru ecuaţia (1). Scăzând câte o unitate din resturile de numere înscrise pe papirus, obţinem: 101, 135, 184, 222, 267, 282, 326, 398. Însă, ultima cifră a unui pătrat perfect poate fi doar: 0, 1, 4, 5, 6 sau 9. Rezultă că numai combinaţiile 101, 135, 184 sau 326 pot fi acceptate ca fiind ultima parte a lui x. Combinaţia 135 nu poate fi, pentru că x^2 ar avea ca factor pătratul lui 5 şi, în acest caz, ultimile două cifre sunt diferite de 00, 25, 50 sau 75. Totodată, nici combinaţia 326 nu poate fi, pentru că x^2 ar avea ca factor pe 4 (pătratul lui 4 sau al lui 6 se divide cu 4), iar ultimile două cifre nu formează un număr divizibil cu 4. Rămân doar două posibilităţi: 101 sau 184. I). Dacă ultimele trei cifre sunt 101, atunci x^2 ar putea fi: 136101, 185101, 223101, 268101, 283101, 327101 sau 399101. Se verifică, extrăgând rădăcina pătrată, că nici unul nu este pătrat perfect! II). Dacă ultimele trei cifre sunt 184, atunci x^2 ar putea fi: 102184, 136184, 223184, 268184, 283184, 327184 sau 399184. Se verifică, extrăgând rădăcina pătrată, că doar 327184 este pătrat perfect, iar x = 572. Cum x reprezintă şi numărul de lingouri dintr-un sac, rezultă că începerea lucrărilor de construcţie a palatului a costat 572 lingouri de aur.
35.Pe malul fluviului ZambeziÎnţeleptul Bazu stă pe malul apei şi se roagă. ”...O, Atotputernicule! Creator a toate câte sunt şi părinte al meu...” E o noapte adâncă şi un întuneric de nepătruns învăluie totul. Nici o pală de vînt nu adie. “...O, tu, cel ce nu cunoşti moartea, izvor de iubire şi adevăr, părinte al meu...” Dinspre câmpie, aerul cald se revarsă spre mal în valuri încărcate de miresme îmbătătoare. “...Îndură-te şi pogoară pacea în sufletul meu...” Calmul şi liniştea domnesc pretutindeni. Înţeleptul închide ochii şi începe să alunece uşor în transă... Deodată, un fulger albastru despică întunericul şi o voce limpede răsună în noapte: — Eu nu sunt tatăl tău, dar tu eşti fiul meu! Cine-i vorbea?Desigur, mama lui.
37.Cinci leiTrei cercuri de aceeaşi rază, care au un punct comun H, se mai intersectează două câte două în punctele A, B, C. Să se arate că raza cercului circumscris triunghiului ABC este egală cu razele celorlalte cercuri („Problema piesei de 5 lei” găsită de Gh. Ţiţeica experimental, la un concurs al Gazetei Matematice, pe când desena cercuri pe o foaie de hârtie cu o piesă de 5 lei).Fie O1, O2 ,O3 centrele celor trei cercuri. Atunci HO1 BO3 şi HO2CO3 sunt romburi, deci O2C||O1B şi O2 C=O1B, aşadar BCO2O1 este paralelogram, deci O1O2=BC. Analog O1O3=AC şi O2O3=AB, deci ΔABC≡ΔO3O2O1 (L.L.L.). Cum HO1=HO2=HO3 obţinem că H este centrul cercului circumscris triunghiului O1O2O3. Aşadar raza cercului circumscris triunghiului ABC are aceeaşi lungime cu cea a triunghiului O1O2O3 , adică cu cea a cercurilor date.
38.Tot 5 leiFie ABCD un patrulater înscris în cercul de centru O si raza R , și fie I intersecția perpendicularelor din mijloacele a două laturi ale sale pe laturile opuse. Să se arate că I și mijloacele laturilor triunghiului BCD sunt conciclice și să se determine raza cercului căruia aparțin aceste puncte.Vezi articolul cu figurile Tot 5 lei. I-ul nu depinde de care două perpendiculare din patru posibile ne legăm pentru a-l construi. Fie U mijlocul lui BD. Nu trebuie să îl construim pe figura și așa încărcată, singurul lucru de care avem nevoie este faptul că măsura unghiului format de liniile mijlocii UM si UF este aceeași cu cea a unghiului C (din patrulaterul dat). Vrem să arătăm că patrulaterul IUMF este inscriptibil. I si U se află de aceeași parte a dreptei MF. Ajunge să arătăm că unghiurile <(MIF) si <(MUF) sunt congruente (cu <(C)). Rămâne să ne legăm de unghiul opus la vârf celui din I. El este unul din unghiurile unui patrulater inscriptibil cu două unghiuri de 90 de grade și cu încă un unghi in A. De aici rezultă <(MIF) = <(LIP) = 180 - <(LAP) = <(C) = <(MUF) . Deci I,U,M,F sunt conciclice. r, raza cercului pe care se află cele patru puncte este raza cercului circumscris trunghiului UMF, congruent cu triunghiul CMF, aflat în asemănare cu factor (1/2) fata de CDB, pentru care raza cercului circumscris este R. Deci raza cautata este r=R/2 .
39.Teorema lui NapoleonDat fiind un triunghi oarecare ΔABC, pe laturile acestuia se construiesc în exterior trei triunghiuri echilaterale ΔABZ, ΔBCX și ΔACY (sau toate trei în interior). Să se arate că centrele N, L și respectiv M ale triunghiurilor construite formează un triunghi echilateral.Triunghiurile ΔAMC și ΔANZ sunt asemenea, pentru că au unghiuri corespondente egale de 30°, 30° și respective 120°. De aici rezultă AM/AN = AC/AZ. Aceasta, împreună cu egalitatea unghiurilor MAN și CAZ, implică asemănarea triunghiurilor ΔAMN ~ ΔACZ, cu raportul de asemănare AC/AM = √3 = CZ/MN Similar se obține CZ/LN = √3, de unde rezultă MN = LN. Aceleași raționament de mai sus se aplică pentru a arata că LN = ML. În concluzie avem MN = LN = ML și triunghiul MNL este echilateral.


Prezentare realizata pentru dumneavoastra de: Corina & Bogdan Simeanu

Folosim și cookies din motivele menționate pe pagina -> Politica de confidențialitate X

WP-Backgrounds Lite by InoPlugs Web Design and Juwelier Schönmann 1010 Wien